财讯：周小川：用数学规划思维看经济体系

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文/原中国人民银行行长周小川

经济主体的行为大多可以理解和表现数学计划中的优化问题。 数据的收集、运用及其概念离不开经济社会统计和统计模型，经济规律的发现和参数化离不开计量模型，基于数学模型的经济分解呈现出深厚而蓝色的知识和技能海洋。

数学规划思维在经济分解中具有重要意义。

经济主体的行为大多可以理解和表现数学计划中的优化问题。 微观代理的行为往往使某事最好，或者使目标函数最大化或最小化。 经济学中最典型的假设是市场经济的公司和个人都追求自己的利益，工人谋求自己的收入和费用效用的最大化，劳动和休闲之间也有优化的选择。 公司行为最典型的描述是追求利润最大化，许多通常的公司就是这个目标。 对一个政府来说，经常把gdp作为经济事业的首要目标，强调中国现在不仅包括gdp论，还包括修改后的gdp或gdp，包括比gdp更综合的目标函数。 总体来说，经济主体是追求某种最大化。 在数学计划中考虑这些问题，有很多特征，可以更彻底地看到，也有可以从更正确的立场分解的问题。

经济学中使用的许多语言来自数学计划。 回顾20世纪890年代中国经济体制的讨论，最重要的进展是党的十四大提出的“我国经济体制改革的目标是建立社会主义市场经济体制”，对社会主义市场经济的第一经济学解释是资源配置的优化，在资源配置上 之后，党的第十四届三中全会提出“完全利用国际国内两个市场、两个资源”，也是资源优化配置。 回顾40年经济体制改革的历史，早期多凭直觉建立农村联产承包责任制，更深入的思考逐渐演化为资源优化配置。 从优化模型的角度来看，资源优化配置与承包责任制等激励机制之间其实是对偶关系，对偶问题其实是线性规划的拉格朗日乘法问题。

资源配置的制约与影子的价格相对应。 为了实现资源优化配置，必须正确定价激励机制，两者互为影子。 一个国家的资源配置效率和优化程度带来重大差异，最重要的资源指劳动力、资本等生产要素，广义的生产要素还包括技术、管理、外汇等。 资源配置的制约是控诉在供给以下，当然可以是供给不足也可以是其他方法。 这些约束可以是约束也可以是放松约束。 在数学计划中，制约一松，其影子的价格就为零。 很多经济分解报告说某种制约很松( slack )。 这意味着讲道理有限制，但宽松，影子价格为零。 如果紧的话，影子的价格不是零。 这是数学计划中给出的法则。

数学规划的基本概念

数学计划是寻找优化的方法。 典型的线性规划基于目标函数和约束，求出目标函数最大化或最小化的极值。 约束可以分为等式约束和不等式约束。 目的函数和约束的表现可分为线性和非线性。 例如在宏观经济模型中，等式制约可以是生产法gdp和支出法gdp等基本经济规律的恒等式典型的不等式制约是劳动力、资本等生产要素的供求关系。

一个是线性规划，目标函数和约束都是线性的，利润比较简单，有现成的计算机算法，进行大规模线性规划的解决。 但现实中一点经济行为可能是非线性的。 因为这可能将现实过于简单化。

二是非线性规划，计算多，复杂性大幅度提高，可能不存在最优解，也取决于约束集合整体是否为凸集合。 如果是凸集，就存在得到最优解的算法。 如果不是凸集，就可能不存在唯一的最优解，并不一定有最优解算法。 也就是说，不是向上走，而是能找到最高点。 非线性规划有两个简单的解决方案。 一个是对数线性化。 由于一点经济问题是以指数的形式描述的，目的函数和制约条件不是线性的，但可以通过对数化表现实现线性，按照线性规划的做法进行计算。 另一个是段线性化。 整个问题可能是非线性的，但如果是分段的，并且每个分段都是用线性方法描述的，则可以在合并之后用线性规划的算法进行计算。

第三个是动态计划。 在理论和算法中，动态规划思维在解决长期问题时可以要求整体过程是最优的，各个阶段不一定是最优的。 现在的动态计划在经济模型中能求出优化解的情况还很有限，动态计划概念有两种使用方法:一种是充分简化整体过程，寻找可用的算法求解；另一种是不存在直接求解的算法，但

经济分解中数学规划的具体问题

第一个具体的问题是目标函数。

目标函数很重要，只有能清楚测量的目标函数才能评价事件是否顺利，另外，可以分解并改变其中一个制约和行为，目标函数的价格是多少。 例如，在经济迅速发展的过程中必须考虑环境保护，特定的环境保护措施将支付多少gdp当期的成本。 贸易摩擦产生多少gdp价格。

现实的目的函数往往是多目的的。 在目标函数表示中，单目是最被理解和计量的。 一家国家的中央银行强调了通货膨胀是其事业的单一目标，但自2008年危机以来，世界中央银行基本上认识到中央银行不分经济增长，不分金融稳定。 另外，还必须考虑金融机构冒风险，无法帮助的问题。 最近，美国挑战保尔森( henry paulson )、伯南克( ben s. bernanke )，研究为什么在本轮危机初期没有救雷曼。 后者没有救雷曼是因为抵押品和道德风险不平衡，以前救了贝尔法斯特、住宅地美、住宅利美，但不能马上救aig，如果所有的金融机构都救不了，不引起道德风险。 没有预测到雷曼破产后的震动有多大。 单目标往往是现实事业目标的过度简化。

如果多个目标可以添加到线性中，技术上类似于单个目标。 例如，gdp看起来像单一的目标，但实际上包括多个商品和服务，无论是从生产方还是从支出方来看，都可以通过价格加权线性相加，所以不要单纯认为gdp是单一的目标。 但是，如果关注社会、环境、道德等目标的分量，多个目标能否线性相加将成为显着的挑战。

机构改革中的目标体系。 图卢兹学派拉丰( jean jacques laffont )说，法规包括目标、测量、激励和资源，目标是最优先的，因此首先需要明确目标是什么。 例如证监会的目标是维持股指还是维持投资融资的公平性还是保证交易的公正性。 目标不明确，就无法衡量这个机构是否行得通。 测量不清楚的话，激励也容易扭曲。 年的全国金融实务会议决定设立金融稳定委员会，其中使用了目标、测量、激励、资源这一框架的想法。 很多人不一定理解这些概念和推论实际上来自数学计划和机制分解( institutional analysis )的框架。

多个目标之间可能存在冲突。 多目标体系在写目标函数式时可以发现一些目标与优化方向一致，另一个目标可能相互冲突，有助于理解困境和困难的问题。 过去，中国政府对货币政策提出了四个目标。 分别是低通货膨胀、经济增长、就业促进和国际收支的大致平衡，然后加入了推进改革开放和维持金融稳定。 其中，经济增长和促进就业的重复度相当高，纷争的目标是经济增长和低通货膨胀，但没有完全冲突。 导出目标函数后，您会发现冲突的目的是不可能的，无法实现。 蒙代尔三角表示无法实现货币政策的独立性、汇率稳定性和资本自由流动这三个目标。 因为这三个目标发生了冲突。 当然，蒙代尔三角法比较简化了现实描述，实践中的汇率稳定性和资本项目的可交换定位可能不那么理想化和简单，但这种想法对决策人有利，对有冲突的目标有取舍 现实中存在很多冲突目标，往往是困境，蒙代尔在3个2个的情况下，有4个3个3个5个4个的情况，可以通过数学计划和目标函数理解。

多层次目标调整机制。 线性规划可以利用拉格朗日函数，非线性规划可以利用库恩-塔克定理列举一个模型实现优化所需的条件群，该条件群包括拉格朗日乘法器，即影子的价格。 也可以用影子的价格写入对偶模型，将拉格朗日条件改写为最优化目标，将目标写入约束条件组。 长期以来，经济学的三部门模式，即政府追求gdp最大化，公司追求利润最大化，顾客(家庭)追求成本效益最大化，存在着三个目标。 根据拉格朗日函数和库恩-塔克定理，每个代理都有自己的目的函数，但以分散供求关系的报纸框架和分散决策为代表的市场经济体制意味着这三个不同的目标可以完全协调一致。 当然数学模型总是简化的，但现实的描述并不怎么简化。 尽管如此，数学规划方法仍然可以找到普遍的法则。 数学规划加上拉格朗日函数、库恩塔克定理的运用，表明多目标协调机制的数学解释非常明确，可以应用于实践。

经济分解中数据计划的第二个具体问题是制约。

制约条件大分类有等式制约和不等式制约。 方程式制约可以表现为经济规律的恒等式的不等式制约的典型例子是资源配置。 据说生产法gdp有盲目扩大生产、产能过剩的可能性，但将宏观经济模型翻译成数学计划模型后，以生产法gdp为目标函数，以支出法gdp为等式制约，投资、支出、政府支出加上净出口， 同样，也可以在等式制约中加入收入法gdp。 总结起来，数学计划以生产法、支出法、收入法的gdp中的任意一个为目标，另外两个进行等式制约，最终3种gdp在市场经济体制下可以互相不冲突。

经济分解中数据计划的第三个具体问题是拉格朗日乘数和拉格朗日函数。

拉格朗日问题可以推导出对偶问题。 对偶问题有两个方面:一个是对偶模型，线性规划中的最大化必然有最小化的对偶模型，比如公司利益最大化，对偶影子价格最小化，所以两个模型之间可以相互翻译，互相成为影子。 另一方面，以与等式制约和不等式条件制约对应的影子价格，例如在生产要素资源配置的优化过程中，某个要素条件的一些变化，为了实现目标函数具有一个价格，在经济学上是影子价格。 因此，制约条件与影子价格测定的代价相对应。 公司多雇一个体，他的报酬依赖于多雇一个体来实现目标函数的极限增加(不是平均而是极限)。 。 经济学中的极限概念可以更准确地描述数学计划测度的影子价格问题。 影子的价格正好是线性规划的拉格朗日乘数。 这种想法对经济的解体很有益。

拉格朗日函数可以结合不同层次的数学计划。 数学计划还有一个有趣的问题。 大数学规划模型设置了小数学规划模型，小数学规划模型设置了更小的数学规划模型，使用拉格朗日函数将数学规划问题转换为函数形式用作约束，导出不同的变量导出了一系列优化条件，经济导出了这一条件 要优化配置，必须以影子价格创造激励。 顶级数学计划条件组的一部分从下一级数学计划的拉格朗日函数转换。 以顾客行为为例，顾客效用最大化是下层的数学计划，可以优化顾客效用最大化的行为。 顾客行为的约束，即顾客支出小于收入，源于关于劳动和休闲、储蓄和花店行为的另一个优化模型，将大问题和小行为问题联系在一起。 2008年金融危机以后，出现了很多对宏观经济模式的批判，认为金融机构行为匮乏，脱离了现实。 以前金融机构的行为被简化，认为制度上有存款就可以贷款，但即使不考虑金融机构的行为，危机也表示必须关注恐慌和惋惜等金融机构的行为，否则经济的解体就会开洞。 这样，有必要建立金融机构自身行为的优化模型，根据拉格朗日函数及其关联，放在顶层宏观模型上。

那么，数学上没有实际处理动态规划问题。 这个动态计划比较难以解决许多复杂的问题，因此罗马俱乐部越来越能够依赖模拟进行比较分析，以展示世界几十年后环境资源无法负荷的模拟结果。 通过数学建模，可以发现目标冲突、不可能问题、对偶问题等许多问题，可以开拓思维，许多研究主题将继续深入。 另外，数学计划的理解和运用也必然导致其他数学方法和模型。

数据的收集、运用及其概念离不开经济社会统计和统计模型，经济规律的发现和参数化离不开计量模型经济行为的描述越来越需要博弈论。 搞好宏观经济工作经常提到控制，涉及控制系统理论和新闻论。 基于数学模型的经济分解表现为渊博的知识和技能之海。

本文是周小川新着《数学计划与经济解体》的总序言，根据去年7月27日在《用数学计划看经济系统》讲座上的演讲整理。

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